水動力方程的發(fā)展史說起NS方程,大家都知道方程名稱中的兩位科學(xué)家先驅(qū)——納維和斯托克斯??墒沁€有一名科學(xué)家應(yīng)該被大家知曉,那就是法國科學(xué)家圣維南。圣維南全名為Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant,一般用Saint-Venant來代表他。他是十九世紀(jì)法國著名的機(jī)械師、數(shù)學(xué)家,主要從事力學(xué)、彈性、靜水學(xué)和流體動力學(xué)方面的研究,推導(dǎo)出了非恒定明渠流淺水方程。這個方程也被稱為圣維南方程,是現(xiàn)代水利工程中的一組重要方程。圣維南方程是水動力方程一維化形態(tài)。圣維南不僅獨(dú)立的推導(dǎo)出了非恒定明渠流淺水方程,他還在納維之后,重新推導(dǎo)了關(guān)于粘性流動的方程,考慮到了內(nèi)部的粘性應(yīng)力,并完全放棄了納維采用的分子方法,并于1843年發(fā)表了相關(guān)論文。該論文首次正確地識別了粘性系數(shù)及其作為流動中速度梯度的乘數(shù)的作用。他還進(jìn)一步將這些乘積識別為由于摩擦作用從而在流體內(nèi)部產(chǎn)生的粘性應(yīng)力。隨后,在基于不可壓條件和靜水壓假設(shè)等條件下,二維水動力方程組被推導(dǎo)出來,也就是被大眾熟悉的淺水方程。淺水方程的假設(shè)前提為水體的深度方向尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于水平方向尺度,因此可以將深度方向的速度分布等效為均勻流。連續(xù)方程中的密度項也通過積分轉(zhuǎn)化為水深的表達(dá)式。淺水方程的出現(xiàn)極大的方便了科學(xué)家通過數(shù)學(xué)物理方法尋找水體運(yùn)動規(guī)律。但是在水庫或是深度方向需要精細(xì)考慮的場景,二維的淺水方程就不夠準(zhǔn)確了。因此科學(xué)家將深度方向再進(jìn)行分層細(xì)化,每層之間再通過約束方程進(jìn)行質(zhì)量和動量的傳遞,從而產(chǎn)生了三維淺水方程。水動力方程的表達(dá)形式先看圣維南方程組(一維水動力)的表達(dá)形式: